Teoremi di Euclide e Teorema di Pitagora

I teoremi di Euclide e di Pitagora possno essere dimostrati attraverso i criteri di similitudine, perciò vale la pena ricordare che:

Def. Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente isometrici ed i lati in proporzione

cioè, per gli angoli valgono le uguaglianze:

`hat A = hat C’`;

`hat B = hat B’`;

`hat C = hat C’`;

mentre per i lati vale la proporzione

`bar(AC):bar(A’C’)=bar(AB):bar(A’B’)=bar(BC):bar(B’C’)`

 

Osservazione: è importante scrivere ordinatamente la proporzione per non incorrere in errori.

Detto questo, passiamo ad enunciare e dimostrare il 1° Teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

DIM : consideriamo il triangolo rettangolo, in A, e chiamiamo AH l’altezza relativa all’ipotenusa così che le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa siano BH (proiezione di AB) e HC (proiezione di AC).

Vogliamo provare che vale la proporzione `BC:AB=AB:BH` e a tal fine facciamo delle considerazioni sui triangoli rettangoli ABC e ABH:

 

essi sono simili perchè hanno l’angolo `A hat B C` in comune; `B hat A C ~= B hat A H`; e di conseguenza (hanno uguali 2 dei 3 angoli!) risulta anche `B hat C A ~= B hat A H`.

Per questo hanno i lati corrispondenti in proporzione, cioè `bar(AC):bar(A’C’)=bar(AB):bar(A’B’)=bar(BC):bar(B’C’)` , che è quanto volevamo dimostrare.

Dalla proporzione ora scritta, possiamo avere `AB^2 =BC*BH` (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi) che si può interpretare dicendo che:

In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su uno dei cateti è uguale all’area del rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto considerato sull’ipotenusa.

Analogamente si dimostra il 2° Teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l’altezza realtiva all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’iotenusa.

DIM : anche per questa dimostrazione ci avvaliamo delle proprietà dei triangoli simili. Stavolta consideriamo i triangoli rettangoli ABH e AHC, che sono simili perchè entrambi simili al triangolo rettangolo ABC (2 triangoli simili ad un terzo triangolo sono simili tra loro).

Dunque i lati corrispondenti risultano in proporzione e si ha BH:AH=AH:HC, che è l’asserto.

Anche qui, in virtù della proprità delle proporzioni possiamo dare una formulazione differente dell’enunciato del teorema:

In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’iptenusa è uguale all’area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree costruite sui cateti.

DIM : per dimostrare il teorema basta applicare il 1° teorema di Euclide ai due cateti:

`AB^2=BC*BH`

`AC^2=BC*HC`; ora, addizioniamo membro a membro i termini delle 2 equazioni ed otteniamo:

`AB^2+AC^2=BC*BH+BC*HC` che diventa (mettiamo in evidenza BC ed osserviamo che BH+HC=BC)

`AB^2+AC^2=BC*(BH+HC)= BC^2` che è l’asserto.