La retta

Una retta è il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l’equazione.

Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due incognite `ax+by+c=0`, quindi i punti della retta avranno coordinate del tipo `(x, y=f(x))`.

Esistono diversi modi di rappresentare una retta:

• la forma implicita `ax+by+c=0`
   
• la forma esplicita `y=mx+q`
   
• la forma segmentaria `x/p + y/q =1`
   

Ricordiamo che se nell’equazione della retta non compare il termine noto, significa che la retta passa per l’origine degli assi; nel caso specifico di equazione in forma implicita, avremo `ax+by=0` , in forma esplicita `y=mx`. Osservimao che per poter scrivere la retta in forma segmentaria, essa non è parallela ad alcun asse e non passa per l’origine.

Nella retta in forma esplicita il significato di q è immediato, poichè rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta intercetta l’asse y.

Nella retta in forma segmentaria, avendo osservato che non passa per l’origiene nè è parallela agli assi, interseca sia l’asse x che la’sse y. Tali segmenti sono detti intercette della retta e sono i segmenti `p=bar(AO)` e `q=bar(BO)`.

Esempio

Scrivere l’equazione segmentaria della retta `5x-2y+15=0`

Occorre intersecare la retta con i due assi, per ottenere le intercette p e q: A(p,0) e B(0,q).

Per `x=0` si ha `q=15/2`; per `y=0` si ha `p= -3`. Perciò l’equazione segmentaria è `x/(-3) + y/(15/2) = 1`.

 

Una quantità “caratteristica” della retta è il coefficiente angolare , inteso come rapporto tra la differenza delle ordinate di 2 qualsiasi punti della retta e la differenza tra le corrispondenti ascisse.

Se la retta è scritta in forma implicita, si definisce coefficiente angolare il numero `m= -a/b`; se la retta è data in forma esplicita, il coefficiente angolare è proprio il coefficiente della x. Più grande è m in valore assoluto, più grande è l’angolo che la retta forma con l’asse delle x.

Perciò, da un punto di vista geometrico il coefficiente angolare è l’angolo che la retta forma con l’asse positivo delle ascisse; da un punto di vista goniometrico il coefficiente angolare di una retta non parallela all’asse y è uguale alla tangente goniometrica di tale angolo.

Quando una retta è parallela ad uno degli assi coordinati, assume una forma particolarmente semplice:

• y=h : parallela all’asse x, perchè tutti i punti hanno ordinata costante
   
• x=k : parallela all’asse y, perchè tutti i punti hanno ascissa costante
   

Rette particolari sono gli assi coordinati e le bisettrici dei quadranti che essi formano intersecandosi:

• Equazione dell’asse x : y=0 (retta i cui punti hanno ordinata nulla)
   
• Equazione dell’asse y : x=0 (retta i cui punti hanno ascissa nulla)
   
• Equazione della bisettrice I-III : y=x (retta i cui punti hanno ascissa e ordinata uguali)
   
• Equazione della bisettrice II-IV : y= -x (retta i cui punti hanno ordinata e ascissa opposte)

Supponiamo, ora, di avere due rette `ax+by+c=0`  e  `a_1x+b_1y+c_1=0` : ci proponiamo di studiarle in base agli eventuali punti in comune che esse hanno.

Un eventuale punto di intersezione deve soddisfare l’equazione di entrambe le rette, quindi si ottiene risolvendo il sistema formato dalle due equazioni.

Sappiamo che il sistema `{(ax+by+c=0),(a_1x+b_1y+c_1=0):}`  ammette una ed una sola soluzione se risulta:

`det [[a,b],[a_1,b_1]] !=0` ;

è impossibile se `a/a_1 = b/b_1 != c/c_1` (le rette sono parallele e distinte);

è indeterminato se`a/a_1 = b/b_1 = c/c_1` (le rette sono parallele e coincidenti).

In relazione ai coefficienti angolari possiamo riassumere la situazione dicendo che:

1. due rette sono incidenti se `m!=m_1`
    
2. due rette sono parallele e distinte se `m=m_1`  e `q!=q_1`
    
3. due rette sono coincidenti se `m=m_1`  e  ` q=q_1`.
    

Esempio

Le rette `3x+5y-3=0`  e  `6x+10y-5=0` sono parallele e distinte, essendo: `3/6 = 5/10 != 3/5`.