Variazione del segno di un trinomio di 2° grado ed interpretazione geometrica

Dato il trinomio `ax^2+bx+c=0` sappiamo che le sue radici sono i punti di intersezione con l’asse delle ascisse.

Ma sappiamo anche che possiamo trovare radici reali e distinte, reali e coincidenti, complesse coniugate a seconda che `Delta >=< 0`.

Abbiamo anche visto che il trinomio rappresenta una parabola, quidni in base al `delta` tale parabola avrà una particolare posizione nel piano.

Ora vogliamo studiare la posizione assunta dalla parabola, a seconda che sia `a><0`  e  `Delta >=<0`.

• `Delta>0` : avremo due soluzioni distinte, quindi due punti di intersezione con l’asse x, `x_1`  e `x_2`.

  La parabola rivolgerà la concavità verso l’alto se `a>0`, verso il basso se `a<0`.

  Allora tutti i punti della parabola la cui ascissa cade fuori dell’intervallo `(x_1,x_2)` hanno ordinata dello stesso segno di a, mentre i punti

  interni a tale intervallo hanno ordinata con segno discorde a quello di a.

   

• `Delta=0` : avremo due radici coincidenti, quindi la parabola sarà tangente all’asse x.

  Allora tutti i punti della curva hanno ordinata concorde con a, tranne il punto di tangenza che ha ordinata uguale a 0.

   

• `Delta<0` : avremo due radici complesse coniugate, quindi la parabola non interseca l’asse x.

  Allora tutti i punti della curva hanno ordinata positiva se `a>0` e ordinata negativa se `a<0` (l’ordinata è sempre concorde con a).

   

Possiamo, perciò, concludere con uno schema riassuntivo:

`Delta=b^2-4ac`	`ax^2+bx+c>0`	`ax^2+bx+c<0`
`a>0,  Delta>0`	soddisfatta per ogni x esterno all’intervallo individuato dalle radici.	soddisfatta per ogni x interno all’intervallo individuato dalle radici
`a>0,  Delta=0`	soddisfatta `AAx!=x_1=x_2=-b/(2a)`	impossibile, cioè per nessun valore di x
`a>0,  Delta<0`	sempre soddisfatta, perciò `AAx`	impossibile
`a<0,  Delta0`	`AAx : x_1<x<x_2` cioè per valori interni all’intervallo delle radici	`AAx: x<x_1,  x>x_2`  cioè per valori esterni all’intervallo delle radici
`a<0, Delta=0`	impossibile	`AAx!=x_1=x_2=-b/(2a)`
`a<0, Delta<0`	impossibile	`AAx`

 

Per chiarire meglio ciò che accade, riportiamo uno schema grafico:

Nel primo caso – la prima delle 3 immagini sopra – risulta:

`V_y <0` : l’ordinata del vertice è negativa;

`y<0 AAx in [x_1, x_2]` : l’ ordinata dei punti della parabola è negativa all’interno dell’intervallo (linee verdi);

`y>0 AAx ` esterno all’intervallo`[x_1, x_2]` : l’ordinata dei punti della parabola è positiva al di fuori dell’intervallo (linee viola).

Nel secondo caso – seconda immagine – risulta:

`V_y=0` : l’ordinata del vertice è nulla, appartiene all’asse x;

`y>0 AAx!= -b/(2a)`: il trinomio è sempre positivo (la parabola non è mai al di sotto dell’asse x), tranne nel punto `-b/(2a)`dove si annulla;

`y<0` MAI.

Nel terzo caso – terza immagine – risulta:

`V_y>0`: l’ordinata del vertice è positiva;

`y>0 AAx` perchè la parabola è sempre al di sopra dell’asse x;

`y<0` MAI.

Nel primo caso si ha:

`V_y>0`: il vertice ha ordinata positiva;

`y>0 AAx in [x_1, x_2]`: l’ordinata dei punti della parabola è positiva all’interno dell’intervallo (linee verdi);

`y<0 AAx`esterno all’intervallo `[x_1, x_2]`: l’ordinata dei punti della parabola è negativa all’esterno dell’intervallo (linee viola).

Nel secondo caso si ha:

`V_y=0`: il vertice ha ordinata nulla, qiondi appartiene all’asse x;

`y<0 AAx!= -b/(2a)`: il trinomio è sempre negativo (la parabola non è mai al di sopra dell’asse x), tranne nell’ordinata del vertice, dove si annulla.

`y>0` MAI.

Nel terzo caso si ha:

`V_y<0`: l’ordinata del vertice è negativa;

`y<0 AAx`: il trinomio è sempre negativo poichè è sempre al di sotto dell’asse x;

`y>0` MAI.

• Esempio 1

Risolvere la disequazione `x^2-3x-4>0`.

Studiamo la parabola `y=x^2-3x-4`: le soluzioni sono `x_1=-1`   e   `x_2=4` che rappresentano le intersezioni con l’asse x; `Delta >0`, `V_y<0`.

Ci troviamo nel primo caso della prima immagine, quindi è soddisfatta per valori esterni all’intervallo: `x<-1 , x>4`.

• Esempio 2

Risolvere la disequazione `x^2+3<0`.

La parabola `y=x^2+3` ha il coefficiente `a>0`  e  `Delta<0`, ci troviamo nel caso 3 della prima immagine: la parabola non può mai essere negativa, quindi la soluzione è IMPOSSIBILE.