Un’equazione si dice esponenziale (logaritmica) se l’incognita compare all’esponente di una o più potenze ( se compare nell’argomento del logaritmo).
Il motivo per cui vengono riportate nella stessa sezione è che spesso i logaritmi servono per risolvere alcuni tipi di equazione esponenziale e viceversa.
*** Esercizi ***
Risolvere le seguenti equazioni (si capirà di volta in volta di che tipo sono!):
- `6^(2-x)*3^(x+1) = 864`
In virtù delle proprietà delle potenze tale equazione può essere scritta come: `6^2/6^x *3^x*3=864`.
Raccogliendo i termini con la x si ha: `(3/6)^x *6^2 *3=864 iff (1/2)^x *108=864 iff (1/2)^x =8`.
Ricordando che `8=2^3` e che una potenza ad esponente negativo diventa la frazione di numeratore 1 e denominatore la potenza stessa ma con esponente positivo, si ottiene: `(1/2)^x = (1/2)^ -3` essendo uguali le basi possiamo uguagliare gli esponenti, da cui ricaviamo `x=-3`.
- `7^(x+2) *7^(x-3) = 343`
Applicando le proprietà delle potenze abbiamo: `7^(x+2+x-3) =7^3 iff 7^(2x-1) =7^3 => 2x-1=3 => x=2.
- `2^(3x) + 8^x=root5 2`
Riscriviamola in questo modo: `2^(3x) +(2^3)^x = 2^(1/5) iff 2^(3x) +2^(3x) =2^(1/5)` che diventa: `2*2^(3x)=2^(1/5) iff 2^(3x+1)=2^(1/5)`.
Anche in questo caso ci siamo ricondotti a potenze con la stessa base, perciò basta eguagliare gli esponenti:
`3x+1=1/5 => 3x=1/5-1 iff x= – 4/15`.
- `9*3^(2x) -82*3^x +9=0`
Per questa equazione operiamo una sostituzione: poniamo `3^x=y` ed otterremo: `9y^2-82y+9=0`.
Applicando la formula di risoluzione di un’equazione di 2° grado si hanno le due soluzioni: `y_1= 9` e `y_2=1/9`.
Tornando alla posizione fatta, si ha: `3^x=9` e `3^x=1/9` da cui ricaviamo le soluzioni dell’equazione data: `x_1=2` e `x_2=-2`.
Per le equazioni logaritmiche cercheremo di ricondurci alla forma `log_alpha A(x)=log_beta B(x)` dove A(x) e B(x) sono espressioni algebriche contenenti l’incognita; cioè cercheremo le soluzioni di `A(x)=B(x)`. Ma non è vero che le soluzioni di questa equazione sono soluzione dell’equazione logaritmica data, poichè capita che una soluzione dell’ultima equazione faccia perdere di significato ad almeno un logaritmo.
Schematizzando, possiamo dire che: le soluzioni di `log_alpha A(x)=log_beta B(x)` sono soluzioni di `A(x)=B(x)` ma non viceversa. Ecco perchè bisogna verificare che le soluzioni trovate soddisfino l’equazione data.
- `log(x+1) + log(x-1) – log(x-2) = log8`
Cerchiamo il dominio (o campo di esistenza, C.E) dei logaritmi presenti ponendo gli argomenti maggiore di zero:
`{(x+1>0),(x-1>0),(x-2>0):} => x>2`.
Fatto ciò risolviamo applicando le proprietà dei logaritmi: `log (((x+1)(x-1))/(x-2)) = log8` e passando dai logaritmi ai numeri si ha:
`(((x+1)(x-1))/(x-2))=8` che ci conduce all’equazione di 2° grado `x^2-8x+15=0` le cui soluzioni sono `x_1=3` e `x_2=5`.
Confrontiamo col C.E. dei logaritmi e vediamo che tali soluzioni sono entrambi accettabili (devono essere maggiori di 2).
- `(logx +5)/(logx +2) -2/5 (logx +5)= -2/5`
Prima di tutto determiniamo il C.E. `{(x>0),(logx +2 !=0):} ` quindi `x!=1/100` e positive.
Riscriviamo così (riportiamo a denominatore comune):`5logx +25 -2(logx +5)(logx +2)= -2(logx +2)`
`5logx +25-2((logx)^2 +7logx +10)-20=-2logx -4`
`-2(logx)^2 -7logx +9=0 iff 2(logx)^2 +7logx -9=0` che ha per soluxioni `logx=1` e `logx=-9/2` da cui abbiamo `x=10` e `x=10^(-9/2)` , entrambe accettabili.
- `x^(logx)=10`, con x>0.
Ecco un’equazione esponenzile che risolviamo con i logaritmi; prendiamo i logaritmi di entrambi i membri:`logx^logx=log10 iff logx*logx=log10 iff log^2 x=1 => logx=+-1 => x=10` e `x=1/10`.
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