Studiamo la funzione `y=x^2 lnx`.
La parte della funzione che dobbiamo analizzare per il suo C.E. è quella del logaritmo naturale: come tutte le funzioni logaritmiche dobbiamo porre il suo argomento strettamente maggiore di zero:

C.E. `x>0`.

Positività: `x^2` è sempre positivo quindi incide sulla positività dell’intera funzione sono il logaritmo: `lnx>0 => x>1 ` e di conseguenza sarà negativo tra 0 ed 1.

Finora la situazione è la seguente:

Intersezioni con gli assi: poichè la funzione è definita per le x strettamente positive, non possiamo intersecare con x=0 (asse y), ma andiamo a cercare solo l’intersezione eventuale con l’asse x, cioè ponendo y=0. Ciò accade quando l’argomento è uguale a 1: `x=1` (Ricordiamo che `lnx=0 x=e^0=1`). Così, il punto di intersezione è solo (1,0).

La funzione non presenta simmetrie.

Asintoti: ricordiamo che la funzione non definita a sinistra di 0, perciò non calcoleremo il limite per x che tende a meno infinito!
`lim_(x->+oo)(x^2 lnx)=+oo` non ci sono asintoti orizzontali; `lim_(x->+oo)(x^2 lnx)/x=+oo` non ci sono asintoti obliqui; `lim_(x->0^+)(x^2 lnx)=0`. in definitiva la funzione non possiede asintoti.

Massimi, minimi, flessi: la derivata prima della funzione è `y’=2xlnx+x^2 /x=x(2lnx+1)`. Essa è uguale a 0 o per x=0, che non è accettabile perchè non appartiene al suo C.E. oppure per `2lnx+1=0`, ovvero per `lnx=-1/2 x=e^(-1/2)=1/sqrt e`. Poichè y’ è negativa tra `0 ed 1/sqrt e` e positiva da `1/sqrt e` in poi, in tale punto presenta un minimo relativo proprio.
Poi la derivata seconda `y”= 2lnx+3` è negativa per `x<1/(e sqrt e)` e positiva per `x>1/(e sqrt e)1` pertanto volge la concavità verso il basso nell’intervallo `(0,1/(e sqrte))` e verso l’alto nell’intervallo `(1/(esqrte),+oo)` e dunque il punto di ascissa `1/(e sqrte)` è un flesso.

Il grafico della funzione è il seguente:

8 Commenti

  1. 8 febbraio 2015 alle 18:22

    non ho capito perchè la derivata è positiva per 2lnx+1=0, può spiegarlo?

    • 8 febbraio 2015 alle 20:24

      Ciao!
      La derivata è positiva a destra del valore “1/sqrt(e)”. Infatti, se fai la derivata anche tu, ti accorgi che puoi scriverla come prodotto x(lnx+1) e devi studiare in quali intervalli è positiva e in quali negativa. Studiando tale prodotto con la regola dei segni, dovremmo prendere i valori di x minori di 0 e maggiori di 1/sqrt/e), MA poichè la funzione non esiste per i valori negativi, l’intervallo è solo x>1/sqrt(e).

  2. 24 febbraio 2015 alle 21:53

    Salve! Vorrei sapere perchè la funzione parte dall’origine degli assi cartesiani,se non ci sono punti di intersezione!

    • 25 febbraio 2015 alle 13:37

      Non ci passa!! Semplicemente – e me ne scuso – ho fatto il grafico a mano e non sono stata precisa!! 😛

  3. 25 febbraio 2015 alle 17:02

    A casa ho rifatto la funzione passo passo e in x=0 non è definita. Quando traccio il disegno, con eventuali flessi e minimi, non so da dove devo far partire la funzione (non ci sono nemmeno asintoti e nell’origine non ci passa). C’è un punto specifico oppure è una proprietà dei logaritmi che forse mi sfugge?

    • 25 febbraio 2015 alle 19:10

      In x la funzione non è definita, questo è chiaro!! Se mi consenti di usare il termine, la funzione “tende” a 0… prova a graficarla con un programma al pc, anche online: ce ne sono diversi 😀

      Aggiungo questa considerazione: facendo il limite della funzione per x che tende a zero da destra, otteniamo un prolungamento per continuità, ecco che la puoi diseganre anche nell’origine, avendo cura di specificare quanto appena detto.
      Spero sia chiaro.

  4. 26 febbraio 2016 alle 11:30

    Mi è tutto chiaro meno un passaggio, come è giunta al lim_(x->0^+)(x^2 lnx)=0? Con de l’Hopital? potrebbe svolgere questo passaggio nello specifico, la ringrazio! Gerardo.

    • 26 febbraio 2016 alle 14:12

      Sì, Gerardo, ho usato la regola di de l’Hospital.
      Infatti, avendo ottenuto la forma indeterminata 0 per -infinito, conviene riscrivere la funzione in modo da avere 0/0 oppure inf/inf.

      In questo caso conviene scrivere lnx/(1/x^2) ed applicare la regola:
      lim del rapporto della derivata del numeratore e del denominatore.

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