L’iperbole

 Per concludere la nostra panoramica sulle coniche, oggi parliamo dell’iperbole.

Intersecando una superficie conica con un piano parallelo all’asse si ottengono due falde che rappresentano i due rami dell’iperbole.

Passando alla definizione possiamo dire che l‘iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

Procediamo alla costruzione dell’equazione canonica.

Indichiamo con 2a la differenza costante di PF e PF’, mentre chiamiamo 2c la distanza focale, FF’. Allo scopo, assumiamo la retta FF’ quale asse x e la perpendicolare quale asse y. Dalla definizione dobbiamo avere

`bar{PF}-bar{PF’}=2a`, se PF>PF’ oppure `bar{PF’}-bar{PF}=2a`, se PF<PF’.

Sia P(x, y) un generico punto del piano; allora `sqrt{(x-c)^2+y^2}-sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a`, che -eseguendo i calcoli- equivale a `(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)`.

Da note proprietà dei triangoli (un lato è maggiore della differenza degli altri due) possiamo supporre 2c>2a, quindi `c^2>a^2`; ciò significa che la losro differenza è una quantità positiva e chiamiamo `b^2=c^2-a^2`.

Sostituendo nella relazione precedente, si ha: `b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2` e dividendo tutto per `a^2b^2`, perveniamo all’equazione standard dell’iperbole: `x^2 /a^2 -y^2/b^2 =1`.

Proprietà dell’iperbole

1. L’iperbole è simmetrica rispetto agli assi coordinati, detti assi dell’iperbole ed essa è detta “riferita agli assi”;
    
2. l’iperbole è simmetrica rispetto all’origine degli assi che viene detta centro dell’iperbole;
    
3. l’iperbole è esterna alla striscia di piano delimitata dalle rette di equazione `x=+-a`;
    
4. l’iperbole interseca l’asse x (y=0) nei punti `A'(-a, 0), A(a, 0)` detti vertici e l’asse x è detto asse trasverso. Non incontra, invece, l’asse y (x=0) , detto asse non trasverso, ma i punti `B(0, b), B'(0, -b)` sono intesi come estremi del segmento di misura 2b;
    
5. i fuochi dell’iperbole si ottengono da `b^2=c^2-a^2`, ricavando c: `c=sqrt{a^2+b^2};
    
6. le rette di equazione ` y=+-b/a x` sono detti asintoti dell’iperbole (dal greco “che non coincide”) e ci permettono di studiare meglio l’andamento della curva;
    
7. l’eccentricità dell’iperbole vale `e=c/a` ed è sempre maggiore di 1, poiché c>a.
    

Iperbole equilatera

Si parla di iperbole equilatera quando a=b e l’equazione assume la forma semplice `x^2-y^2=a^2`.
In questo caso, gli asintoti sono le bisettrici del I-III quadrante e del II-IV quadrante, cioè `y=+-x` e l’eccentricità misura `e=sqrt 2`.

Osservazione: l’iperbole equilatera assume una forma notevole se riferita ad un nuovo sistema di assi, ottenuto da una rotazione di 45° intorno all’origine. Infatti, applicando le equazioni della rotazione, abbiamo:

`{(x=X cos 45°-Y sen 45°),(y=Y sen 45° + Y cos 45°):}`  che ci porta, con opportuni calcoli e sostituzioni, alla forma XY=k: se k> 0 i rami dell’iperbole sono nel 1° e 3° quadrante, se k<0 nel 2° e 4°.

 

Tangenti ad una iperbole

Come per le altre coniche, anche per l’iperbole procediamo alla determinazione delle rette tangenti, imponendo l’annullarsi del delta del sistema retta- curva.

Se il punto da cui “esce” la tangente appartiene all’iperbole, possiamo considerare la formula: `{x_1 x} /a^2 -{y_1 y}/b^2=1`.

Se l’iperbole è della forma xy=k, la tangente avrà equazione: `(xy_1+x_1y)/2=k`

 

Funzione omografica

Molte volte, l’iperbole si presenta sotto forma di una funzione diversa, detta funzione omografica. In tal caso, l’equazione è del tipo:

`y={ax+b}/{cx+d}`, con a, b, c, d costanti reali. Tale funzione è rappresentata in coordinate cartesiane ortogonali, da un’iperbole equilatera avente per asisntoti le rette: `x=-{d/c}` e `y=a/c`.

 

*** Qualche esercizio ***

 

1. Dopo aver scritto l’iperbole `3x^2-10y^2=5` in forma canonica, trovare le coordinate dei fuochi, l’eccentricità e l’equazione degli asintoti.

   Per ridurla in forma canonica, basta dividere tutto per 5, ottenendo l’equazione

   `3/5 x^2 -2y^2=1`.
   In questo modo si vede subito che gli assi sono: `a^2=5/3` e `b^2=1/2`, e ricordando la relazione tra assi e fuochi, otteniamo:
   `c^2=5/3 +1/2=13/6` quindi `c=(-+sqrt(13)/sqrt 6),0)`.

   L’eccentricità vale `e=c/a=sqrt(13)/sqrt(10)`.

   Gli asintoti: `y=-+b/a x` da cui `y=-+5/6 x`.
    

2.  

   Determinare b in modo che l’iperbole `x^2/16 -y^2/b^2=1` passi per il punto: P(5, -3/4).

   E’ sufficiente sostituire all’equazione le coordinate di P, ottenendo: `25/16 -9/16b^2=1` e riducendo a denominatore comune si ha `25b^2-9=16b^2 <=> 9b^2=9 => b^2=1`.
   Quindi l’equazione cercata è: `x^2/16 -y^2=1`