Identità ed equazioni goniometriche

Iniziamo questa sezione con la definizione di identità goniometrica, per poi passare elle equazioni goniometriche.

Si chiama identità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni che contengono funzioni goniometriche di uno o più angoli, che è verificata qualunque siano i valori attribuiti ai valori degli angoli (fatta esclusione per quei valori per cui una delle due espressioni perde di significato).

Esempio

• Verificare l’identità `tg^2alpha – sin^2alpha = sin^alpha*tg^2alpha`

Operiamo sul primo membro:

`(sin^alpha)/(cos^2alpha) -sin^2alpha= sin^2alpha*(1-cos^2alpha)/(cos^2alpha) = sin^2alpha*(sin^2alpha)/(cos^2alpha) = sin^2alpha*tg^2alpha`

cioè: `sin^2alpha*tg^2alpha =sin^2alpha*tg^2alpha`

 

• Verificare l’identità `1/(cos^2alpha) = 1+tg^2alpha`

Ricordando che `1=cos^2alpha + sin^2alpha` al primo membro avremo:

`(cos^2alpha + sin^2alpha)/(cos^2alpha) = (cos^2alpha)/(cos^2alpha) + (sin^2alpha)/(cos^2alpha) = 1+ tg^2alpha`

quindi l’identità è verificata.

 

• Verificare l’identità `sin(alpha+beta)*sin(alpha-beta) = sin^alpha – sin^2beta = cos^2beta – cos^2alpha`

usando le formule di addizione e sottrazione del seno ed effettuando i prodotti, il 1° membro diventa:

`sin^2alpha cos^2b – sinalpha sinbeta cosalpha cosbeta + sinalpha sinbeta cosalpha cosbeta – cos^2alpha sen^2beta=`

`= sin^2alpha cos^2beta – cos^2alpha sin^2beta =` (usando l’identità fondamentale)

`= (1-cos^2alpha)cos^2beta-cos^2alpha(1-cos^2beta) = cos^2beta – cos^2alpha cos^2beta – cos^alpha + cos^2alpha cos^2beta=`

`= cos^2beta – cos^2alpha`

se nel passaggio in cui si utilizza l’identità fondamentale scriviamo tutto in funzione di seno, allora avremo ` sin^2alpha – sin^2beta`

 

Si chiama equazione lineare in `sinx` e `cosx` un’equazione del tipo `a sinx + b cosx = c`,  con `a!=0, b!=0`

Non esiste un metodo risolutivo unico, ma dipenderà dall’equazione;pertanto procederemo ad affrontarne varie tipologie.

• Risolvere l’equazione `sqrt3 sinx – 3 cosx = 0`

dividendo i membri di tale equazione per `cosx` si ottiene: `sqrt3 tgx – 3 = 0  => tgx = 3/sqrt3 = sqrt3`  la cui soluzione è `x= 60@+k180@`

• Risolvere l’equazione `sqrt3 sinx + cosx = 1`

Dobbiamo supporre che `x!=(2k+1)180@` perchè per tali valori l’equazione non è soddisfatta. Dunque possiamo utilizzare le formule

parametriche `sinx =(2t)/(1+t^2)`  e  `cosx =(1-t^2)/(1+t^2)`  essendo `t=tg(x/2)`

Sostituendo tali posizioni nell’equazione di partenza, con opportuni calcoli perveniamo a `2sqrt3 t+1-t^2 = 1+t^2 <=> t(t-sqrt3)=0`

Applicando la LAP si ottengono le soluzioni: `t=0 <=> tg(x/2)=0`  e  `t=sqrt3 <=> tg(x/2)=sqrt3` da cui ricaviamo rispettivamente

`x/2= k*180@ <=> x=k*360@`  e  `x/2=60@+k*180@ <=> x=120@+k*360@`  con `k in Z`.

• Risolvere l’equazione `sinx + cosx = 1`

Decidiamo di affrontare un metodo particolare, “appoggiandoci” all’identità fondamentale.

 `{(sinx + cosx = 1),(sin^2x + cos^2x =1):}`

`{(sinx + cosx =1),((sinx+cosx)^2-2sinx cosx = 1):}`

`{(sinx + cosx = 1),(sinx *cosx = 0):}` da cui ricaviamo `{(sinx =0),(cosx =1):}` oppure `{(cosx =0),(sinx =1):} da cui

`x=2k pi`  oppure  `x=pi/2 +2kpi`.