Funzione logaritmica e funzione esponenziale

Funzione logaritmica

Si chiama funzione logaritmica e si scrive `f(x)=log_a x` una funzione definita in `RR^+` e a valori in `RR`, essendo `a>0, a!=1`.

Dalle proprietà già dette dei logaritmi possiamo dedurre alcune proprietyà della funzione logaritmica:

1. è biettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio;
2. è monotona crescente se a>1, monotona decrescente se 0<a<1;
3. è invertibile in `RR`;
4. l’inversa della funzione logaritmica di base a è la funzione esponenziale (ne parleremo in seguito) di base a.

    

Vogliamo, ora, costruire il grafico della funzione logaritmica così da vedere quale sia il suo andamento ed evidenziare le proprietà ora enunciate e lo faremo nel modo standard, cioè attribuendo dei valori alla x ed ottenendo il corrispondente valore di `y=f(x)`.

Osserviamo che:

1. poichè l’argomento del logaritmo non può essere negativo la funzione assume solo valori per x>0 per cui il grafico si troverà tutto alla destra dell’asse delle ordinate;
2. se x=1 si ha y=0 e quindi la curva interseca l’asse delle ascisse nel punto (1,0);
3. se x>1 la y assume valori positivi e cresce al crescere della x, assumendo valori arbitrariamente grandi;
4. se 0<x<1 la y assume valori negativi, e per valori della x più vicini a zero, i corrispondenti valori della y sono in modulo sempre più grandi, ma sono sempre negativi.

Perciò, alla luce di quanto detto possiamo tracciare il grafico come mostra la figura seguente:

Mentre, se 0<a<1 si ha una funzione decrescente come mostra la figura sefuente:

 

Funzione esponenziale

Si chiama funzione esponenziale e si scrive `f(x)=a^x` una funzione di `RR` in `RR^+`, essendo `a>0` e `a!=1`.

Se a=1 la funzione è costante : `f(x)=1^x=1, AA x in RR`.

Come per la funzione logaritmica, anche per la funzione esponenziale valgono alcune proprietà:

1. è biettiva, cioè è una corrispondenza biunivoca tra `RR` ed `RR^+`;
2. è monotona crescente se a>1, monotona decrescente se 0<a<1;
3. è invertibile in `RR`.

Per tracciarne il grafico teniamo conto delle proprietà:

1° caso: a>1.

1. `a^x` è sempre positiva, perciò il grafico della funzione sarà sempre al di sopra dell’asse delle ascisse;
2. se x=0 si ha y=1, quindi il garfico interseca l’asse delle x nel punto (0,1);
3. se x cresce, anche y cresce assumendo valori arbitrariamente grandi;
4. se x assume valori negativi, crescenti in modulo, la y decresce assumendo valori positivi arbitrariamente piccoli.

Perciò la curva è la seguente:

2° caso: 0<a<1.

La funzione è decrescente al crescere della x, quindi il grafico è:

3° caso: a=1.

La funzione assume sempre 1, qualunque sia il valore attribuito alla x. Quindi il grafico è una retta parallela all’asse delle x e passante per il punto (0,1):