“Lo studio dei rapporti quantitativi tra i diversi fenomeni della natura ci spinge a cercare e studiare il legame esistente tra le variabili che caratterizzano il fenomeno in esame. Se questa funzione puo’ essere espressa in forma analitica, e’ allora possibile intraprendere lo studio di questa dipendenza con i metodi dell’analisi matematica” (Zwirner – Scaglianti)

E’ chiaro che vogliamo approfondire lo studio di funzioni, ma era doveroso mostrare il perche’. D’altra parte una funzione puo’ rappresentare crescita/profitto in ambito economico, incidenza di malattie in ambito medico…

Iniziamo con la funzione `f(x)=sqrt(4x-x^2)`.
La primissima cosa da fare e’ definire il suo campo di esistenza, perche’ gia’ questo ci da’ informazioni preziose. Trattandosi di una radice di indice pari, l’esistenza e’ assicurata quando il radicando e’ maggiore o uguale a zero, da cui:

C.E. `4x-x^2 >=0, => x(4-x)>=0, => x>=0` oppure `4-x>=0` che ci porta a `x<=4`.

Mettendo insieme le informazioni otteniamo l’intervallo `0<=x<=4`, inclusi gli estremi (0 e 4).

Ora ci occupiamo di eventuali simmetrie (se la funzione fosse simmetrica, il suo studio sarebbe semplificato). Vediamo se la funzione e’ pari (simmetrica rispetto all’asse y), cioè se `f(-x)=f(x): f(-x)=sqrt(-4x-(-x)^2)!=f(x)` quindi la funzione non e’ pari.
Vediamo se e’ dispari (simmetrica rispetto all’origine degli assi), cioè se `f(-x)= -f(x)`: sfruttando la scrittura precedente, possiamo concludere che non e’ nemmeno dispari. La funzione non presenta simmetrie.

Chiediamoci se interseca gli assi coordinati, in modo da essere piu’ precisi nel tracciare il suo grafico:
l’intersezione con l’asse x si ottiene risolvendo il sistema `{(y=0, text{equazione dell’asse x},(sqrt(4x-x^2)=0):}` da cui `x=0 e x=4`; pertanto otteniamo i punti O(0,0) ed A(4,0).
L’intersezione con l’asse y si ottiene sostituendo x=0 (equazione dell’asse y) nella funzione, da cui otteniamo y=0, nuovamente il punto O.

Siamo giunti alla positivita’. Poniamo `f(x)>=0 => sqrt(4x-x^2)>=0`, che e’ sempre vero trattandosi di una radice quadrata, quindi e’ sempre positiva.

E’ il momento degli asintoti. Essendo una funzione limitata, non ci sono asintoti orizzontali. Ricerchiamo quelli verticali (vanno ricercati tra gli eventuali punti di discontinuita’ o di non esistenza della funzione):
`lim_{x\to 0} {sqrt(4x-x^2)}=0`, y=0 non e’ asintoto verticale; `lim_{x\to 4}{sqrt(4x-x^2)}=0`, y=4 non e’ asintoto verticale. La funzione non presenta asintoti, ma osserviamo che 0 appartiene alla nostra funzione (Ricordiamo che per l’esistenza di un asintoto verticale il risultato del limite deve essere infinito).

Studiamo la crescenza. Per fare cio’ dobbiamo porre la derivata prima maggiore o uguale a zero: `f'(x)>=0`.
La derivata prima e’ `f'(x)=(4-2x)/(2sqrt(4x-x^2))=(2-x)/(sqrt(4x-x^2))`. Il denominatore, essendo una radice quadrata e’ sempre positivo nel suo insieme di definizione, mentre il numeratore e’ positivo per `x<2`, allora la funzione cresce prima di 2 e decresce da 2 in poi:

Da qui si vede anche che 2 e’ un punto di massimo (ottenuto ponendo la funzione uguale a 0, in particolare solo il numeratore va posto uguale a zero! il denominatore non deve annullarsi altrimenti la funzione non avrebbe senso).

Resta da studiare la concavita’ e per farlo studiamo la derivata seconda. `f”(x)=(-4)/((4x-x^2)sqrt(4x-x^2))>=0 => x>0 o x<4`.
Il grafico ottenuto e’

quindi e’ chiaro che nel suo insieme di definizione la funzione volge la concavita’ verso il basso.

In conclusione, il grafico qualitativo della funzione in esame e’

Ora, ricapitoliamo:
 

Cosa fare

  • Campo di esistenza
  • Simmetrie
  • Intersezioni con gli assi
  • Positivita’
  • Asintoti
  • Crescenza/decrescenza
  • Massimi/minimi
  • Concavità e flessi

Cosa occorre saper fare

  • Risolvere equazioni/disequazioni di vario tipo
  • Conoscere le condizioni di esistenza per le diverse tipologie di funzioni
  • Calcolare i limiti
  • Calcolare le derivate prime e seconde

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