Iniziamo questa sezione con la definizione di identità goniometrica, per poi passare elle equazioni goniometriche.

Si chiama identità goniometrica ogni uguaglianza tra espressioni che contengono funzioni goniometriche di uno o più angoli, che è verificata qualunque siano i valori attribuiti ai valori degli angoli (fatta esclusione per quei valori per cui una delle due espressioni perde di significato).

Esempio

  • Verificare l’identità `tg^2alpha – sin^2alpha = sin^alpha*tg^2alpha`

Operiamo sul primo membro:

`(sin^alpha)/(cos^2alpha) -sin^2alpha= sin^2alpha*(1-cos^2alpha)/(cos^2alpha) = sin^2alpha*(sin^2alpha)/(cos^2alpha) = sin^2alpha*tg^2alpha`

cioè: `sin^2alpha*tg^2alpha =sin^2alpha*tg^2alpha`

 

  • Verificare l’identità `1/(cos^2alpha) = 1+tg^2alpha`

Ricordando che `1=cos^2alpha + sin^2alpha` al primo membro avremo:

`(cos^2alpha + sin^2alpha)/(cos^2alpha) = (cos^2alpha)/(cos^2alpha) + (sin^2alpha)/(cos^2alpha) = 1+ tg^2alpha`

quindi l’identità è verificata.

 

  • Verificare l’identità `sin(alpha+beta)*sin(alpha-beta) = sin^alpha – sin^2beta = cos^2beta – cos^2alpha`

usando le formule di addizione e sottrazione del seno ed effettuando i prodotti, il 1° membro diventa:

`sin^2alpha cos^2b – sinalpha sinbeta cosalpha cosbeta + sinalpha sinbeta cosalpha cosbeta – cos^2alpha sen^2beta=`

`= sin^2alpha cos^2beta – cos^2alpha sin^2beta =` (usando l’identità fondamentale)

`= (1-cos^2alpha)cos^2beta-cos^2alpha(1-cos^2beta) = cos^2beta – cos^2alpha cos^2beta – cos^alpha + cos^2alpha cos^2beta=`

`= cos^2beta – cos^2alpha`

se nel passaggio in cui si utilizza l’identità fondamentale scriviamo tutto in funzione di seno, allora avremo ` sin^2alpha – sin^2beta`

 

Si chiama equazione lineare in `sinx` e `cosx` un’equazione del tipo `a sinx + b cosx = c`,  con `a!=0, b!=0`

Non esiste un metodo risolutivo unico, ma dipenderà dall’equazione;pertanto procederemo ad affrontarne varie tipologie.

  • Risolvere l’equazione `sqrt3 sinx – 3 cosx = 0`

dividendo i membri di tale equazione per `cosx` si ottiene: `sqrt3 tgx – 3 = 0  => tgx = 3/sqrt3 = sqrt3`  la cui soluzione è `x= 60@+k180@`

  • Risolvere l’equazione `sqrt3 sinx + cosx = 1`

Dobbiamo supporre che `x!=(2k+1)180@` perchè per tali valori l’equazione non è soddisfatta. Dunque possiamo utilizzare le formule

parametriche `sinx =(2t)/(1+t^2)`  e  `cosx =(1-t^2)/(1+t^2)`  essendo `t=tg(x/2)`

Sostituendo tali posizioni nell’equazione di partenza, con opportuni calcoli perveniamo a `2sqrt3 t+1-t^2 = 1+t^2 <=> t(t-sqrt3)=0`

Applicando la LAP si ottengono le soluzioni: `t=0 <=> tg(x/2)=0`  e  `t=sqrt3 <=> tg(x/2)=sqrt3` da cui ricaviamo rispettivamente

`x/2= k*180@ <=> x=k*360@`  e  `x/2=60@+k*180@ <=> x=120@+k*360@`  con `k in Z`.

  • Risolvere l’equazione `sinx + cosx = 1`

Decidiamo di affrontare un metodo particolare, “appoggiandoci” all’identità fondamentale.

 `{(sinx + cosx = 1),(sin^2x + cos^2x =1):}`

`{(sinx + cosx =1),((sinx+cosx)^2-2sinx cosx = 1):}`

`{(sinx + cosx = 1),(sinx *cosx = 0):}` da cui ricaviamo `{(sinx =0),(cosx =1):}` oppure `{(cosx =0),(sinx =1):} da cui

`x=2k pi`  oppure  `x=pi/2 +2kpi`.

 

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