Come per le rette, anche per le circonferenze si può parlare di fascio.
Consideriamo l’equazione di due circonferenze distinte x2+y2+ax+by+c=0 e x2+y2+a’x+b’y+c’=0, o brevemente S=0 ed S’=0.

Consideriamo l’equazione del fascio come combinazione lineare delle due circonferenze, con opportuni parametri, l ed l’: lS+l’S’=0.

Supposto `l!=0` poniamo `t=(l’)/l`. Allora il fascio si può scrivere più facilmente anche come S+tS’=0 equivalente a:

x2+y2+ax+by+c+t(x2+y2+a’x+b’y+c’)=0   o ancora

(1+t)x2+(1+t)y2+(a+ta’)x+(b+tb’)y+c+tc’=0

`AA t !=-1` si ottiene una circonferenza. In lS+l’S’=0 si ha una circonferenza se `l+l’!=0`.

Come si può facilmente vedere S+tS’=0 rappresenta tutte le circonferenze del fascio tranne la S’, mentre si ha la S per `t=0`.

La S’ si ha per  `l=0`  e `l’=1`.
 

Se `t=-1` , `S’-S=0` è l’equazione dell’asse radicale (si sono “persi” i termini di secondo grado, quindi si ha una retta se le circonferenze sono concentriche, altrimenti  un numero). L’asse radicale può essere vista come una circonferenza degenere di raggio infinito.

Enunciamo una proprietà importante nei fasci: il luogo dei centri delle circonferenze di un fascio è una retta perpendicolare all’asse radicale, detta asse centrale.

Ora è opportuno fare una distinzione, in base a come sono disposte le circonferenze:

  1. Se le circonferenze S ed S’ si intersecano in 2 punti, tutte le circonferenze del fascio passano per quei punti, detti punti base. In tal caso l’asse radicale è la retta passante per essi.
     
  2. Le circonferenze S ed S’ sono tra loro tangenti ad un punto T(x0,y0):
    l’eq del fascio sarà (x-x0)2+(y-y0)2+t(ax+by+c)=0 , dove (x0,y0)sono le coordinate del punto di tangenza e
    ax+by+c è l’equazione della retta cui sono tangenti le circonferenze.
     
  3. Le circonferenze S ed S’ non sono concentriche e non hanno punti in comune: in tal caso le circonferenze del fascio sono a due a due prive di punti comuni, e i loro centri stanno su una retta perpendicolare all’asse radicale.
     
  4. Le circonferenze S ed S’ sono concentriche, quindi varia solo il raggio, per questo l’equazione del fascio si potrà scrivere nella forma  lS+k=0, con `l !=0`.


*** Qualche esercizio ***

  •  Per quale valore di k l’area del cerchio di equazione x2 +y2 -2x +2y -4k = 0 è uguale a `6pi`?

    Come si vede dalla presenza del parametro k, si tratta di un fascio di circonferenze.
    La formula dell’area del cerchio è `pi*r^2`.
    Dall’equazione del fascio dobbiamo ricavare il raggio ed applichiamo la formula usata nella “parte prima”

    `r=1+1+4k`

    Trovato il raggio, imponiamo che l’area sia `6pi`, quindi risolviamo come se fosse un’equazione in k:

    `A=pi*r^2` `iff` `6pi=pi*r^2`

    quindi: `sqrt6=sqrt1+1+4k` `iff` 6=2+4k  `iff` k=1.
     

  • Nel fascio generato dalle circonferenze di equazioni x2 + y2 -6x -10y +9=0 e x2 + y2 + 8x + 4y -33 =0
    determinare l’equazione della circonferenza che (1) abbia il centro sull asse delle x; (2) che stacchi sull’asse x una corda di misura 6.

    (1) Siano C la prima circonfonfernza, C’ la seconda e t il parametro; il fascio sarà C+tC’=0, quindi in forma estesa:
    x2(1+t)+y2(1+t)+x(-6+8t)+y(-10+4t)+9-33t=0

    Affinchè una circonferenza abbia centro sull’asse x il termine in b deve essere nullo, quindi -10+4t=0 da cui si ricava:
    `t=5/2`. Per cui, sostituendo tale valore di t nel fascio, otteniamo esattamente la circonferenze che soddisfa la richiesta (1):
    x2+y2+4x-21=0

    (2) Per studiare quale circonferenza stacca una corda lunga 6 sull’asse x, dobbiamo trovare le intersezioni del fascio con l’asse x (la cui equazione è y=0) ed imporre che la distanza tra questi punti sia 6.

    `{(x^2(1+t)+y^2(1+t)+x(-6+8t)+y(-10+4t)+9-33t=0), (y=0):}`

    si ha: x2(1+t)+x(-6+8t)+9-33t=0 che risolta ci dà le due soluzioni `A((3-3t)/(1+t), 0)` e `B((3-11t)/(1+t), 0)`

    Ora determiniamo la distanza AB ed imponiamo che sia pari a 6: `|(x_A-x_B)|=6`

    cioè: `(196t^2)/(1+t^2+2t)=36`

    che risolta ci dà `t_1=-3/10` e `t_2=3/4`

    Quindi ci sono due circonferenze che soddisfano la richiesta (2):
    ` x^2+y^2-4y-9=0` e `x^2+y^2-12x-16y+27=0`

 

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