In questo articolo parliamo sia di equazioni che di disequazioni irrazionali, perché le considerazioni che faremo per le equazioni serviranno per comprendere meglio quanto accade nelle disequazioni. Questo caso è quello in cui non sempre l’intuito è vantaggioso. Perché? Perchè è facile credere che se dobbiamo risolvere `sqrt(x-1)=x` basta elevare semplicemente al quadrato entrambi i membri dell’equazione.
 

Equazioni irrazionali

Un’equazione si dice irrazionale quando l’incognita compare sotto radice.

Si possono presentare vari casi.

  1. Un primo caso semplice è il seguente: `sqrt(f(x))=k`, dove k rappresenta un numero qualsiasi.

    Ad esempio: `sqrt(3x-1)=3` che si risolve elevando al quadrato entrambi i membri dell’equazione, perchè la

    radice quadrata si elimina con l’elevamento al quadrato: 3x-1=9 => x=10/3.
     

  2. Un altro caso è quello in cui oltre alla funzione sotto radice, ce n’è un’altra: `sqrt(x+4) +7=2x`.

    Occorre prima isolare la radice, quindi si ha `sqrt(x+4)=2x-7`, e poi elevare al quadrato i membri dell’equazione, quindi `x+4=4x^2-28x+49` che porta all’equazione `4x^2-29x+45=0`, le cui soluzioni sono `x_1=9/4` e ` x_2=5`. A questo punto non possiamo fermarci, perché dobbiamo verificare che tali soluzioni soddisfino

    effettivamente l’equazione; dunque sostituiamo (come una prova) `x_1` e ` x_2`: la soluzione `x_2` è accettabile,

    mentre `x_1` no: infatti, `sqrt(5+4)=10-7` cioè 3=3. Invece, `sqrt(9/4+4)!=2*9/4-7`.

    Sussiste, infatti, unteorema: Elevando al quadrato (o anche a qualunque potenza ennesima, con n>1) entrambi i membri dell’equazione si ottiene un’altra equazione che ammette le soluzioni dell’equazione di partenza, ma ne ammette altre che chiameremo estranee o non accettabili.

    In virtù del teorema ora enunciato, possiamo dedurre un metodo per risolevere le equazioni del tipo `sqrt(f(x))=g(x)`; infatti, basta impostare il sistema misto (poichè compaiono una equazione ed una disequazione):

    `{(f(x)=[g(x)]^2),(g(x)>=0):}`, dove l’equazione è la risolvente della irrazionale e la disequazione rappresenta la condizione a cui devono soddisfare le soluzioni dell’equazioni per poter essere accettate come soluzioni.

    E’ importante notare che sarebbe necessario verificare che si possa estrarre la radice quadrata, imponendo cioè `f(x)>=0`, ma ciò risulta implicito nell’equazione risolvente, perchè questa – che ha un quadrato al secondo membro – è soddisfatta solo e solo se è anche `f(x)>=0`.
     

  3. Un ulteriore caso è il seguente: `sqrt(f(x))=sqrt(g(x))`.

    Per risolvere questa tipologia di equazioni irrazionali, ora è necessario imporre la condizione di esistenza delle radici, poi elevare tutto al quadrato.

    Perciò: `{(f(x)=g(x)),(f(x)>=0),(g(x)>=0):}`.

Esempi:

Risolvere: `sqrt(x^2-x-12)=sqrt(x-9)`

Si ha `{(x^2-x-12=x-9),(x^2-x-12>=0),(x-9>=0):}`
Le condizioni di esistenza (in seguito C.E.) portano a `x>=9`, mentre l’equazione risolvente è` x^2-2x-3=0`, le cui soluzioni sono `x_1=-1` ed `x_2=3`, poichè nessuna delle due è maggiore o uguale a 9, l’equazione è impossibile.

Risolvere: `sqrt(x+1)-sqrt(x+6)=-1`

Si ha `{(x+1=(sqrt(x+6)-1)^2),(x+1>=0),(x+6>=0):}<=>{(sqrt(x+6)=3),(x>=-1):}<=>{(x=3),(x>=-1):}`.
La soluzione finale è 3 che è maggiore di -1, quindi accettabile.

Notiamo che abbiamo dovuto ripetere il procedimento due volte, poichè la prima volta è venuta fuori un’altra radice dal doppio prodotto del qudrato del binomio, e la seconda ci ha portato alla soluzione finale.

Se abbiamo 3 radicali, si isola una radice portando le altre al secondo membro e poi si procede come sopra.

Facciamo un esempio con un radicale doppio:

Risolvere: `sqrt(x+sqrt(x-2))=sqrt(3x-5)`

`{(x-2>=0),(3x-5>=0),(x+sqrt(x-2)=3x-5):}<=>{(x>=2),(x>=5/2),(x-2=(3x-x-5)^2):}<=>{(4x^2-21x+27=0), (x>=5/2):}`

Le soluzioni dell’equazione sono ` x_1=9/7` ed `x_2=3`, ma solo `3>5/2` quindi è la sola accettabile.

Disequazioni irrazionali

Studieremo i casi

  1. `sqrt(f(x))<g(x)` 
  2. `sqrt(f(x))>g(x)`.

1) Con analoghe osservazioni fatte per le equazioni, si perviene al sistema misto: `{(f(x)>=0),(g(x)>0),(f(x)<[g(x)]^2):}`

2) I sistemi che si ottengono sono 2: `{(f(x)>=0),(g(x)<0):}` U ` {(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}`

questo perchè  per la realtà del radicale (C.E.) deve aversi `f(x)>=0`; inoltre la disequazione è soddisfatta certamente quando `g(x)<0`. Invece, se `g(x)>=0 `elevando al quadrato si ha `f(x)>[g(x)]^2` che implica tacitamente l’essere `f(x)>=0`.

Esempi

Risolvere: `sqrt(x^2-4)<x-1`

Rientra nel 1° caso, quindi otteniamo il sistema: `{(x^2-4>=0),(x-1>0),(x^2-4<x^2-2x+1):}` che equivale a

`{((x-2)(x+2)>=0),(x>1),(2x<5):} <=> {(x<-2 ; x>2),(x>1),(x<5/2):}` da cui otteniamo la soluzione `2<=x<5/2`, come

si vede dal grafico:

 

Risolvere: `sqrt(x^2+3x-10)>x-2`

Rientra nel 2° caso, quindi abbiamo `{(x^2+3x-10>=0),(x-2<0):}`  U `{(x-2>=0),(x^2+3x-10>=x^2-4x+4):}`

Risolviamo contemporaneamente i due sistemi: `{(x<-5;x>2),(x<2):}`  U  `{(x>=2),(x>=2):}`.

Quindi le soluzioni sono `x<-5` U ` x>=2`


 

 

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