Equazioni di secondo grado: circonferenza (parte prima)

Da un punto di vista puramente geometrico la circonferenza è una conica, ossia un “oggetto” ottenuto intersecando una superficie conica con un piano.

Una superficie conica non è altro che la superficie che si ottiene facendo ruotare di un giro completo una retta r attorno ad una retta a (detto `alpha` l’angolo tra r ed a, `alpha` è minore di 90°).

La circonferenza si ottiene quando il piano secante è  perpendicolare all’asse della superficie conica.

Le coniche sono “oggetti” importanti perchè si trovano non solo come orbite dei pianeti e dei satelliti o come traiettorie di particelle atomiche elementari, ma si usano per disegnare lenti o specchi o per studiare le volte architettoniche.

 

Equazione cartesiana della circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico [ insieme di tutti e soli i punti che godono di una stessa proprietà] dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto centro.

Detto P(x,y) un generico punto del piano e `C(alpha,beta)` il centro della circonferenza di raggio r, in base alla definizione data deve aversi:

`(x- alpha )^2+(y- beta)^2=r^2` (1)

da cui, sviluppando i quadrati, si ottiene:

`x^2+y^2-2 alpha x-2 beta y+alpha^2+beta^2 – r^2=0`

Ponendo `-2 alpha=a   -2beta=b   alpha^2+beta^2-r^2=c` , l’equazione assume la forma

`x^2+y^2+ax+by+c=0`(2)

che è l’equazione canonica o normale della circonferenza e che rappresenta un’equazione algebrica di secondo grado nelle variabili x ed y.

Detto ciò va considerato il problema inverso, cioè stabilire se le eventuali soluzioni di tale equazione danno punti le cui coordinate si trovano sulla stessa circonferenza.

Per fare ciò scriviamo la (2) così: `x^2+y^2+ax+by= -c`  e completiamo i quadrati al primo membro:

`x^2+ax+a^2/4+y^2+by+b^2/4=a^2/4+b^2/4-c`  che ci dà la (1) se `alpha= -a/2`     `beta=-b/2     `r^2= a^2/4+b^2/4-c>0`.

Pertanto, l’equazione `x^2+y^2+ax+by+c=0`rappresenta una circonferenza solo quando `(a/2)^2+(b/2)^2-c>0`.

In tal caso le coordinate del centro sono `C( -a/2, -b/2)` ed il raggio è dato da `r=sqrt((a/2)^2+(b/2)^2-c)`.

Osservazioni:
Se `a^2/4+b^2/4-c=0 `esiste un solo punto del piano che soddisfa all’equazione, cioè l’equazione della circonferenza degenera in un solo punto.
Se `a^2/4+b^2/4-c<0` non esistono punti del piano reale che soddisfano all’equazione, cioè la circonferenza è immaginaria.

Studio dei coefficienti dell’equazione

  1. c=0 la circonferenza passa per l’origine degli assi
  2. a=0 la circonferenza ha il centro sull’asse y `=> C(0,-b/2)`
  3. b=0 la circonferenza ha il centro sull’asse x `=> C(-a/2,0)`
  4. a=b=0 il centro coincide con l’origine `=> C(0,0)`
  5. a=c=0 la circonferenza è tangente all’asse x ed ha il centrosull’asse y
  6. b=c=0 la circonferenza è tangente all’asse y ed ha il centro sull’asse x.


*** Qualche esercizio ***

  • Scrivere l’equazione della circonferenza di centro (-2,0) e raggio `r=sqrt(2)` .
    Basta applicare la (1): `(x+2)^2+(y-0)^2=2 `   che equivale a `x^2+y^2+4x+2=0`
     
  • Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(1,-2) e passante per il punto P(2,3).
    Per applicare la (1) abbiamo bisogno del raggio, ma `r=PC=sqrt( 1^2 + 5^2 )=sqrt(26)`
    Quindi `(x-1)^2+(y+2)^2=26`
     
  • Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(-4,1) e tangente all’asse y.
    In questo caso il raggio è dato dalla distanza del centro dall’asse y: `r=|-4|=4`.
    Ora, applicando la (1) si ha: `(x+4)^2+(y-1)^2=16`
     
  • Scrivere l’equazione della circonferenza di centro C(2,-6) e che stacca sull’asse x una corda lunga 14.
    Consideriamo il triangolo rettangolo di vertici C, A (uno degli estremi della corda AB), M (punto medio di AB).
    Il raggio è dato dall’ipotenusa di tale triangolo, AC. Quindi: `r=AC= sqrt((CM)^2+(AM)^2)`.
    Ora, MC è la distanza del centro dall’asse x, quindi `MC=|-6|=6`
    e `AM=1/2*14` , avendo detto che M è punto medio di AB.
    Allora:`r=AC=sqrt(36+49)=sqrt(85)`.
    Applicando infine la (1) si ha l’equazione cercata: `(x-2)^2+(y+6)^2=85`.

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