Altra classe di disequazioni che riscuote poco favore è rappresentata dalle disequazioni con i moduli.

Ricordiamo, prima di tutto, che a volte è necessario lavorare con quantità che risultino sempre positive, come devono essere le lunghezze ad esempio; ecco spiegata l’importanza di introdurre il concetto di modulo o valore assoluto:

  • |A(x)| =  A(x)  per i valori di x per cui risulta A(x)> opp. = 0;
  • |A(x)| = -A(x)  per i valori di x per cui risulta A(x)<0.
     

Una disequazione che presenta un modulo, come |A(x)|>B(x), alla luce di quanto detto, si scinde in 2 sistemi:

  1. `{(A(x)>=0),(A(x)>B(x)):}`
  2. `{(A(x)<0),(-A(x)>B(x)):}`.

Facciamo subito un esempio,per meglio comprendere:

`|2+x| > 3x+4`

  1. `{(2+x>=0),(2+x>3x+4):} => {(x>=-2),(2x<-2):} => -2<= x<-1`.
  2. `{(2+x<0),(-2-x >3x+4):} => {(x<-2),(4x<-6):} => {(x<-2),(x< -3/2):} => x<-2`.

Fatto questo, si riuniscono le soluzioni trovate e si ha la soluzione finale: per cui, la disequazione è verificata per `x<-1`.

Esempi

`|2x-3|<5`

Trasformiamola nei sistemi prima detti:

  1. `{(2x-3>=0),(2x-3<5):} => {(x>= 3/2),(2x<8):} => {(x>=3/2),(x<4):} => 3/2<=x<4`.
  2. `{(2x-3<0),(-2x+3<5):} => {(x<3/2),(-2x<2):} => {(x<3/2),(x>-1):} => -1<x<3/2`.

Ora mettiamo insieme le soluzioni trovate, magari con l’aiuto di un grafico ed otteniamo la soluzione finale per la nostra disequazione:
`-1<x<4`:

`||x|-2x+1|<1`

Abbiamo un modulo all’interno di un altro modulo, quindi dobbiamo fare qualche valutazione in più.
Se:

  • `x>=0`, la disequazione equivale a: `|x-2x+1|<1`;
  • `x<0`, la disequazione equivale a: `|-x-2x+1|<1`.

Poi, per ciascuna consideriamo il caso in cui l’argoemnto è positivo o nullo e quello in cui l’argomento è negativo. I sistemi che si ottengono sono 4:

  1. `{(x>=0),(x-2x+1>=0),(x-2x+1<1):} => {(x>=0),(x<=1),(x<0):}`;
     
  2. `{(x>=0),(x-2x+1<0),(-x-2x-1<1):} =>  {(x>=0),(x<1),(x<2):}`;
     
  3. `{(x<0),(-x-2x+1>=0),(-x-2x+1<1):} => {(x<0),(x<=1/3),(x<0):}`;
     
  4. `{(x<0),(-x-2x+1<0),(x+2x-1<1):} => {(x<0),(x<1/3),(x<2/3):}`.
     

Il primo è verificato per `0<x<=1`, il secondo per `1<x<2`, gli ultimi due sono impossibili; per cui la soluzione finale è data dai primi 2 sistemi ed è `0<x<2`.

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